Übungen für die Klassenarbeit am 13.13.2013

Hier nun die versprochenen Links zu den Übungen:

Wichtig!!! 
1. Dies ist eine Auswahl an verschiedensten Übungen mit einem großen Umfang. Wähle die Übungen sinnvoll aus, da du alles nicht schaffen wirst!

2. Es bringt nichts einfach alle diese Übungen zu machen und so auf eine gute Note zu spekulieren. Es ist wichtig zu verstehen was du tust!

3. Lernen am PC ist oft nicht so effektiv und langanhaltend. Deshalb lerne MIT dem PC. Das heißt:

• Schaue dir die Aufgaben an, 
• übertrage Aufgaben bei denen dies möglich ist von Hand auf Papier, 
• rechne die Aufgaben dann auf dem Papier 
• und gib das Ergebnis erst zur Kontrolle ein

4. Nutze zum Lernen nicht nur digitale Medien (PC, Tablet, Smartphone), sondern wechsle sinnvoll ab. In deinem Mathebuch findest du auch sehr viele gute Übungen. 

Übungen:

I Vierecke

Aufgaben zu Vierecken:
http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/viereck/vierecksarten.shtml
Übungsaufgaben zu Vierecken und Eigenschaften

II Winkelsumme:

1. Winkelsumme im Dreieck
http://www.realmath.de/Neues/Klasse7/winkelsumme/dreieckuebung.html

2. Übungen in deinem Mathebuch

III Flächeninhalte

Aufgaben zum Flächeninhalt Rechteck und Quadrat:
http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/viereck/rechteck.shtml
Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken. Aufgabe 12 ist nicht relevant!

http://www.matheaufgaben.net/mathe-online/?Aufgabentyp=Umfang-Flaeche-Quadrat-Rechteck
Hier kannst du unten bei Aufgabenstellung die Figur und den Schwierigkeitsgrad wählen

Aufgaben zum Flächeninhalt von Parallelogrammen
http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/viereck/parallelogramm.shtml

Aufgaben zum Flächeninhalt von Trapezen
http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/viereck/trapez.shtml

Aufgaben zum Flächeninhalt von Dreiecken
http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/dreieck.shtml
Ab Aufgabe 9

Aufgaben zum Flächeninhalt verschiedener Figuren:
http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/verschiedene-flaechen.shtml
alle Aufgaben, außer Drachen. Dort musst du den Haken entfernen

Aufgaben zu zusammengesetzten Flächen/ Vielecken
http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/zusammengesetzte-flaechen.shtml

IV Verschiedenes 

Textaufgaben zu Flächeninhalt und Umfang
http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/textaufgaben.shtml
!!!Häckchen bei Kreis entfernen!!!

Formeln festigen und üben
http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/formeln-festigen.shtml
!!!Drache hat eine eigene Formel, die wir NICHT benötigen!!!

Winkelsumme im n- Eck

Einfach zusammenzählen
Unter der Winkelsumme versteht man wie schon aus dem Begriff Summe herauszulesen ist die Gesamtheit aller Winkel, also einfach alle Winkel einer Figur addiert. Ein n - Eck ist dabei eine Figur mit  einer Anzahl von n (frei wählbar zwischen 3 und plus unendlich) Ecken, z.B. n = 5 ergibt ein 5-Eck, n = 6 ergibt ein Sechseck.

Winkel im Dreieck
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt genau 180°. Um das zu beweisen, zeichne einfach ein beliebiges Dreieck. Zeichne in dieses Dreieck die Winkel ein und bezeichne diese. Schneide die Winkel wie in der Grafik zu sehen an der roten Linie ab und lege sie anschließend zusammen.

  

Die aneinander gelegten Ecken bilde wie du siehst einen Halbkreis. Wie wir wissen hat eine ganze Drehung, also ein ganzer Kreis 360 Grad. Ein halber Kreis also 360° :2 = 180°

Es gilt also für die Winkelsumme im Dreieck:  α + β + γ = 180 °

Winkelsumme im Viereck
Ein Viereck lässt sich aus minimal zwei Dreiecken zusammensetzen. Kann für das Viereck die doppelte Winkelsumme vom Dreieck gerechnet werden, 2 * 360°. Man muss also nur die Anzahl der Dreiecke mal 180° rechnen und man hat die Winkelsumme.

Daher gilt für das Viereck: α + β  +γ + δ = 360° 

Allgemein ist einfacher
Wie wir schon wissen sind Mathematiker sehr faul und wie wir wissen genügt es, die Anzahl der Dreiecke mal 180° zu nehmen und man hat die korrekte Winkelsumme. Um ein Körper nicht dauernd in Dreiecke teilen zu müssen um die Winkelsumme heraus zu finden, haben sie sich viele Gedanken gemacht und haben herausgefunden, dass sich eine Figur, egal welche immer in zwei Dreiecke weniger teilen lässt als sie Ecken hat. 

Draus lässt sich folgende allgemeine Formel für die Winkelsumme aufstellen:
WS = (n - 2) * 180°
(zuerst n, also die Anzahl der Ecken minus zwei rechnen und dann das ganze mit 180 multiplizieren)

Beispiel für ein 7 - Eck:
WS= (7 - 2) * 180° = 5 * 180° = 900° -> Die Winkelsumme im Siebeneck beträgt 900 °

Aufgaben zur Winkelsumme

1. Winkelsumme im Dreieck

http://www.realmath.de/Neues/Klasse7/winkelsumme/dreieckuebung.html

2. Übungen in deinem Mathebuch

Flächeninhalt Vielecke

Die Welt ist bunt und abwechslungsreich. Deshalb ist es auch nicht verwunderlich, dass die meisten Flächen eben nicht rechteckig, dreieckig oder trapezförmig sind. Vielmehr haben die meisten Flächen in der Realität noch mehr Ecken, sie sind Vielecke wie zum Beispiel das Haus in der Grafik unten.

Den Flächeninhalt, hier die Wandfläche des Hauses von Vielecken kann man nicht direkt berechnen.
Die Lösung ist aber ganz einfach: "Jedes Vieleck lässt sich in einfachere Figuren zerlegen, die man berechnen kann."


Um Figuren mit einem Loch (z.B. Fenster etc.) zu berechnen musst du die beiden folgenden Schritte machen. Für Figuren ohne Loch genügt Schritt 1

1. Alles ohne Fenster un Türen oder Figuren ohne Loch
Denken wir uns nun einmal die Fenster weg, sieht unser Haus zerlegt wie folgt aus:

Die Hausfläche besteht also aus 2 Rechtecken und einem Dreieck.








Diese Formen können wir einzeln mit unseren bekannten Formeln berechnen.





Um den gesamten Flächeninhalt der Hauswand zu bekommen musst du zum Schluss nur noch die einzelnen Ergebnisse zusammenrechnen

A(Dreieck) + A(Rechteck1)+ A(Rechteck 2) = A(Hauswand)


2. Mit Fenster und Türen oder Figuren mit Loch
Jedes Haus hat aber Flächen, die nicht mit angestrichen werden müssen, z.B. Fenster und Türen. Wenn du Farbe kaufen musst, ist es natürlich wichtig diese Flächen nicht mit zu berechnen, denn sonst hast du später zu viel Farbe übrig und zu viel Geld ausgegeben.

Um die endgültige Wandfläche des Hauses zu berechnen musst du die Fläche, die die Fenster von der Wand einnehmen von der Gesamtfläche des Hauses abziehen.
Du musst dazu gleich Vorgehen wie vorher.
Berechne zuerst den Flächeninhalt von jedem Fenster einzeln und addiere diesen. So erhälst du die Fenstergesamtfläche.


A (alle Fenster) = A (Fenster1) + A(Fenster2) + A(Fenster3) + A(Fenster4) + A(Fenster 5) + A(Fenster 6) 

Um die zu bemalende Wandfläche zu bekommen musst du nun die Fenstergesamtfläche von der Hauswandfläche abziehen

A(zu bemalen) = A (Hauswand) - A(Fenstergesamtfläche)


Aufgaben zu zusammengesetzten Flächen/ Vielecken
1. http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/zusammengesetzte-flaechen.shtml

Flächeninhalt Dreieck

Ein bekannter Trick...
Für das Dreieck können wir die gleiche Regel wie auch für das Trapez anwenden. Erst müssen wir das Dreieck zu einem Parallelogramm verdoppeln und den Flächeninhalt wieder halbieren.

Es ergibt sich damit für das Dreieck folgende Formel:

A (Dreieck) = (g * h) : 2   (A = Grundseite mal Höhe, geteilt durch 2) 

Tipp: Die Höhe in einem Dreieck ist wie immer senkrecht zur Grundfläche und verläuft durch den Eckpunkt gegenüber der Grundseite. 

Zum Schluss noch ein Beispiel im Video:
http://www.youtube.com/watch?v=yQ47pNBQurY


Aufgaben zum Flächeninhalt von Dreiecken
1. http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/dreieck.shtml
    Ab Aufgabe 9

Flächeninhalt Trapez

Erst Verdoppeln...

Um den Flächeninhalt von einem Trapez zu berechnen musst du wie schon in der Stunde gemacht das Trapez verdoppeln und umgedreht aneinander legen, so dass ein Parallelogramm entsteht.

von mathe-lexikon.at

Nun kannst du den Flächeninhalt des Trapez ganz einfach mit Hilfe der Formel für das Parallelogramm (A= Grundseite mal Höhe) berechnen:

Die Grundseite in obigen Parallelogramm ist also (a+c).
Die Höhe ist der senkrechte Abstand zwischen der Grundseite (a+c) und der Parallelen dazu.

Somit bekommen wir erst einmal folgende Formel für das Trapez
A (Trapez) = Grundseite mal Höhe = (a+c) * h

...dann halbieren

Da wir aber nicht das verdoppelte Trapez, also das ganze Parallelogramm berechnen wollen, sondern nur den Flächeninhalt von einem unserer Trapezteile, müssen wir den Flächeninhalt noch einmal halbieren, durch 2 teilen.

Daraus ergibt sich für das Trapez folgende Formel:

A (Trapez) = ((a+c) *h) : 2
(erst a plus c, dann das ergebnis mal h und am schluss das ganze noch einmal durch 2 teilen)

Noch mal kurz mit Beispiel im Video:
http://www.youtube.com/watch?v=74nbXdFuw-s

Aufgaben zum Flächeninhalt von Trapezen
1. http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/viereck/trapez.shtml

Flächeninhalt von Parallelogrammen

Abschneiden und Umlegen

Den Flächeninhalt eines Parallelogramms kann man ganz einfach ausrechnen.  Dazu benötigst du nur eine Schere und dein Wissen über den Flächeninhalt zum Rechteck.
Um das Parallelogramm in ein Rechteck zu verwandeln musst du nur wie in der Grafik zu sehen eine Ecke abschneiden und an die andere Seite anlegen:

Dadurch erhälst du ein einfaches Rechteck mit einer Grundseite g als Länge und einer Breite h, die man auch Höhe bezeichnet. Die Höhe ist in einem Parallelogramm der Abstand zwischen der Grundseite und der parallelen zur Grundseite. Die Höhe ist dabei immer senkrecht zur Grundseite !

Somit berechnet sich der Flächeninhalt im Parallelogramm mit Hilfe der Formel:

A (Parallelogramm) = g * h ( A = Grundseite mal Höhe)

Noch ein kleines Beispiel in einem Video:
http://www.youtube.com/watch?v=pzIw326-6WE

Aufgaben zum Flächeninhalt von Parallelogrammen
1. http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/viereck/parallelogramm.shtml

Flächeninhalt von Rechtecken

Einfach Pflastern...
Den Flächeninhalt eines Rechteckes kann man ganz einfach durch "Pflastern" ermitteln.
Schneide dir dazu ganz einfach einige kleine Quadrate mit einer Seitenlänge von 1cm aus. Mit diesen legst du dann ganz einfach das gesamte Rechteck aus, wie in der Grafik zu sehen.

Jedes kleine Quadrat hat einen Flächeninhalt von 1 Quadratcentimeter (1cm²)
Um den gesamten Flächeninhalt auszurechnen musst du nun einfach alle kleinen Quadrate zählen:

--> es sind 36 kleine Quadrate, also hat das Rechteck einen Flächeninhalt von 36 cm²

...oder schnell mal rechnen
Mathematiker sind faul. Deshalb hat auch kein Mathematiker Lust jedes Mal kleine Quadrate auszuschneiden um den Flächeninhalt zu bestimmen. Deshalb haben sie sich einen ganz einfachen Weg überlegt, den Flächeninhalt auszurechnen.
Wie das geht erfährst du in Folgendem Video. Einfach auf den Link klicken :)

http://www.youtube.com/watch?v=xlZedJ33rjY

Für das Rechteck lässt sich also einfach folgendes festhalten:

A (Rechteck) = a * b  (A ist gleich a mal b)

Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich also durch das Produkt von Länge und Breite.

Für ein Rechteck mit der Länge a = 7cm und der Breite b = 5 cm ergeibt sich also folgender Flächeninhalt:
A= 7 cm * 5 cm = 35 cm²

Aufgaben zum Flächeninhalt Rechteck und Quadrat:
1. http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/viereck/rechteck.shtml
    Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken.

2. http://www.matheaufgaben.net/mathe-online/?Aufgabentyp=Umfang-Flaeche-Quadrat-Rechteck
    Hier kannst du unten bei Aufgabenstellung die Figur und den Schwierigkeitsgrad wählen