Einfach zusammenzählen
Unter der Winkelsumme versteht man wie schon aus dem Begriff Summe herauszulesen ist die Gesamtheit aller Winkel, also einfach alle Winkel einer Figur addiert. Ein n - Eck ist dabei eine Figur mit einer Anzahl von n (frei wählbar zwischen 3 und plus unendlich) Ecken, z.B. n = 5 ergibt ein 5-Eck, n = 6 ergibt ein Sechseck.
Unter der Winkelsumme versteht man wie schon aus dem Begriff Summe herauszulesen ist die Gesamtheit aller Winkel, also einfach alle Winkel einer Figur addiert. Ein n - Eck ist dabei eine Figur mit einer Anzahl von n (frei wählbar zwischen 3 und plus unendlich) Ecken, z.B. n = 5 ergibt ein 5-Eck, n = 6 ergibt ein Sechseck.
Winkel im Dreieck
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt genau 180°. Um das zu beweisen, zeichne einfach ein beliebiges Dreieck. Zeichne in dieses Dreieck die Winkel ein und bezeichne diese. Schneide die Winkel wie in der Grafik zu sehen an der roten Linie ab und lege sie anschließend zusammen.
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt genau 180°. Um das zu beweisen, zeichne einfach ein beliebiges Dreieck. Zeichne in dieses Dreieck die Winkel ein und bezeichne diese. Schneide die Winkel wie in der Grafik zu sehen an der roten Linie ab und lege sie anschließend zusammen.
Die aneinander gelegten Ecken bilde wie du siehst einen Halbkreis. Wie wir wissen hat eine ganze Drehung, also ein ganzer Kreis 360 Grad. Ein halber Kreis also 360° :2 = 180°
Es gilt also für die Winkelsumme im Dreieck: α + β + γ = 180 °
Winkelsumme im Viereck
Ein Viereck lässt sich aus minimal zwei Dreiecken zusammensetzen. Kann für das Viereck die doppelte Winkelsumme vom Dreieck gerechnet werden, 2 * 360°. Man muss also nur die Anzahl der Dreiecke mal 180° rechnen und man hat die Winkelsumme.
Ein Viereck lässt sich aus minimal zwei Dreiecken zusammensetzen. Kann für das Viereck die doppelte Winkelsumme vom Dreieck gerechnet werden, 2 * 360°. Man muss also nur die Anzahl der Dreiecke mal 180° rechnen und man hat die Winkelsumme.
Daher gilt für das Viereck: α + β +γ + δ = 360°
Allgemein ist einfacher
Wie wir schon wissen sind Mathematiker sehr faul und wie wir wissen genügt es, die Anzahl der Dreiecke mal 180° zu nehmen und man hat die korrekte Winkelsumme. Um ein Körper nicht dauernd in Dreiecke teilen zu müssen um die Winkelsumme heraus zu finden, haben sie sich viele Gedanken gemacht und haben herausgefunden, dass sich eine Figur, egal welche immer in zwei Dreiecke weniger teilen lässt als sie Ecken hat.
Wie wir schon wissen sind Mathematiker sehr faul und wie wir wissen genügt es, die Anzahl der Dreiecke mal 180° zu nehmen und man hat die korrekte Winkelsumme. Um ein Körper nicht dauernd in Dreiecke teilen zu müssen um die Winkelsumme heraus zu finden, haben sie sich viele Gedanken gemacht und haben herausgefunden, dass sich eine Figur, egal welche immer in zwei Dreiecke weniger teilen lässt als sie Ecken hat.
Draus lässt sich folgende allgemeine Formel für die Winkelsumme aufstellen:
WS = (n - 2) * 180°
(zuerst n, also die Anzahl der Ecken minus zwei rechnen und dann das ganze mit 180 multiplizieren)
WS = (n - 2) * 180°
(zuerst n, also die Anzahl der Ecken minus zwei rechnen und dann das ganze mit 180 multiplizieren)
Beispiel für ein 7 - Eck:
WS= (7 - 2) * 180° = 5 * 180° = 900° -> Die Winkelsumme im Siebeneck beträgt 900 °
WS= (7 - 2) * 180° = 5 * 180° = 900° -> Die Winkelsumme im Siebeneck beträgt 900 °
Aufgaben zur Winkelsumme
1. Winkelsumme im Dreieck
2. Übungen in deinem Mathebuch
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